我们似乎不太了解e。
在数学中，常数e一直是一个神奇的存在，这似乎很常见，但是我们对它了解多少呢？
描述常数e的语句可以在许多数学书籍中找到，例如，在维基百科中，它的解释如下:
"数学常数e是自然对数的基数."
这个解释似乎相当模糊。中文的意思是这样的:“数学常数e是自然对数的基础”。不幸的是，这里引入了另一个概念“自然对数”。
和往常一样，我们也可以从维基百科得到一个解释:
自然对数，以前称为双曲对数，是以e为底的对数，其中e是约等于2.718281828459的无理数常数
这个解释说:“自然对数，原名双曲对数，是基于E的对数，其中E是一个不合理的常数，约等于2.7182818282。”
这让我们觉得自己陷入了一个很好的循环参照。这种循环带来的痛苦是，它是正确的，但没有帮助。回顾我们中学的课本，我们只是直接告诉学生一个类似的结论，却无法跳出循环去解释什么。
我完全理解这一点。对于绝大多数的数学定义来说，由于要求严谨，不可避免的是，数学定义往往枯燥、形式化，带有一种冷漠、傲慢的气质。但是这种气质对一个初学者来说确实不友好。
今天分享一些关于E的看法，会让他更平易近人。
e不仅仅是一个数字
如果我们简单地把E描述为“一个常数，大约2.71828……”，就像把Pi描述为“一个无理数，大约3.1415……”。当然，这也没什么不好，但就像我之前说的，这样的描述似乎没什么用。我们更感兴趣的是“他怎么样”，而不是“他有多厉害”。
如此简单的数字描述往往忽略了背后的客观意义，但正是这种实际意义才是我们理解其本质的核心。
圆周率是所有圆的周长和直径之比。它是一个比值，是所有圆固有的基本比值。由于其固有的性质，这个比值将影响许多与圆、球、柱等一系列图形的周长、面积、体积和表面积有关的计算，以及由圆导出的三角函数sin、cos和tan。
同样，E应该如何理解？
e是持续增长过程中的基本增长率。
有了它，我们可以轻松获得各种连续的复合增长率。
简单来说，当系统呈指数级连续增长时，如人口、放射性衰变、利息计算等。，可以用e来估计。
例如，每个数字都可以被视为1的缩放版本，每个圆也可以被视为单位圆的缩放版本。然后，以同样的方式，每一个增长率可以被视为一个以e为单位增长的比例版本。
因此，e不是一个晦涩的，看似随机的数字。e代表所有增长中的系统都是以基本增长率扩展的版本。
指数生长
让我们从一个基本系统开始，它将在时间上翻倍。例如:
细菌可以每24小时分裂一次
你选择了回报率100%的理财产品，你的钱每年翻一倍
这些更改应该如下所示:
在上面的例子中，1变成2，2变成4，以此类推，这可以称为裂变。数学上可以这样描述:当初始值拆分x倍时，相当于初始值翻倍。比如你分裂一次，就会得到两次；四次除法，你得到双倍。
一般增长公式如下:
换句话说，双增长可以表示为100%的增长。然后，增长公式可以改写为:
我们可以看到，原来公式中的2写成1+100%。
当然，我们可以用一个新的收益率来代替现有的100%，也就是在x个收益率期内，收益率就是收益率，一般的增长公式是:
再想一想。
我们上面引用的例子都假设增长是分阶段进行的。也就是说，细菌在等待，等待，然后爆炸，最后一刻翻倍；一年到期利息收入神奇地出现。所以我们把上面的生长看成是间歇性的，结果是瞬间的，导致上图中突然出现绿点，这是一个离散系统。
显然，现实世界并不总是这样。如果我们放大图片，我们会发现细菌会随着时间不断分裂:
绿点菌起初并不存在，后来逐渐从蓝点菌中生长出来。一个单位时间后，一个完整的绿点细菌生长。
这显然是一个连续的系统过程，但我们只是离散地观察结果。但是这会改变我们的等式吗？
当然不是。就细菌而言，半形成的绿色细菌在完全生长并与蓝色细菌分离之前是没有意义的。这个等式仍然成立。
金钱改变一切
那么有没有连续系统的连续观测？
我们可以考虑存钱和理财的例子。一旦我们开始赚取利息，钱就在不断地自我复制，不断地产生利息。你不必像之前的细菌一样，等到成熟的时候。
根据我们的旧公式，利息增加如下:
但还是那句话，上图并不完全正确:所有的兴趣都会在最后一天出现。
让我们放大，把一年分成两部分。我们每年赚取100%的利息，或者每六个月赚取50%的利息。因此，我们前六个月赚50美分，后半年赚50美分:
但这还是不够详细！当然，我们最初的美元一年赚一美元。但是六个月后，我们有了一枚50美分的硬币，在这个时候，我们不能忽视它。这50美分可以自己挣钱:
因为我们的利率是每六个月50%，这50美分可以赚25美分。一年后，我们总共可以给我们2.25美元。我们从最初的1美元中获利1.25美元，甚至比翻倍还要好！
回报增长的公式可以用另一种方式来写。在这两个半周期中，增长率都是50%，那么:
连续复合生长
同样，分为三个周期，增加33%。画出我们三个复合周期增长率的有趣图片:
12个月后的最终值为1+1+0.33+0.04，约为2.37。
我们赚了1.37美元，比上次的1.25美元要好！
我们能得到无限的钱吗？
为什么不花更短的时间？每个月，每天，每小时，甚至每纳秒？我们的回报会飙升吗？
如果我们在增长公式中尝试使用不同的N，总回报会随着N的增加而增加，但似乎不是无限的，而且这种趋势会逐渐放缓。
这个数字将在2.718左右收敛。
等等，这看起来像常数e吗！
这时候我们先介绍极限的概念，然后再来看这个公式。e定义为极限增长率，并保持100%的复合收益率，因此在日益细分的周期中:
这个极限是收敛的，它的值保持在2.718左右。
但这一切意味着什么？
数字e是一段时间内复合100%增长的最大可能结果。当然，一开始你想从1增长到2。但是每一个小小的进步，你都会创造一个小小的奖励，开始自己成长。当一切发生时，在一个时间段结束时，你会得到E，而不是2。e是最大值，当我们尽可能地复合时会出现的极限。
因此，如果我们从开始，以100%的回报率连续复合，我们得到1e。如果我们从2美元开始，我们得到2e。如果我们从11.79美元开始，我们得到11.79美元。
e就像一个速度极限，意味着你可以通过使用一个连续的过程来增长多快。你可能并不总是达到速度极限，但这是一个参考点:你可以用这个通用常数来获得其他增长率。
值得注意的是，增长需要与最终结果分开。1成为e意味着增长171.8%。至于本身，E是综合考虑所有细分市场的增长后的最终结果。
不同的增长率呢？
如果我们以每年50%而不是100%的速度增长，会怎么样？我们还能用E吗？
让我们看看。50%的复合增长率如下:
50%是总收益，n是细分周期数。如果我们选择n=50，即以1%的利息将增长分成50个周期:
我们如何知道这个公式的价值？
可以使用之前得到的极限公式。假设100%的固定利率分为100个1%的部分:
通过简单的对比，我们可以发现:
这很有趣。
50/100=0.5，这是我们提高e到的指数，一般来说，这似乎是有规律的:如果我们有300%的增长率，我们可以把它分成300个周期，增长率为1%，最终的增长极限应该是。
虽然增长看起来像加法，但我们需要记住它实际上是乘法。这就是为什么我们使用指数和平方根。
虽然我们选择了1%，但我们可以选择任何小的增长单位。关键是，对于我们选择的任何增长率，它只是一个新的E指数:
不同的时间段呢？
假设我们在两年内增长300%。我们可以把年增长率乘以他自己:
一般来说:
为什么e这么自然？
首先我们要知道，代表自然基数的符号E是由瑞士数学家、物理学家莱昂哈德·欧拉以欧拉的第一个字母“E”命名的。
但事实上，第一个发现这个常数的人并不是欧拉本人，而是雅可比·伯努利。
伯努利家族是17-18世纪著名的瑞士家族，其中有许多著名的数学科学家。雅可比·伯努利是约翰·伯努利的弟弟，而约翰·伯努利是欧拉的数学老师。总之，老板们千丝万缕。
他们找到常数e的方法是使用我们之前谈到的“复利模型”。
正常的银行虽然不会出台连续复利的优惠政策，但从本质上来说，大部分事情都处于“无意识持续增长”的状态。对于一个不断增长的东西，如果单位时间的增长率是100%，那么一个单位时间之后，就会变成原来的E倍。生物生长繁殖的过程就像“利润滚动”的过程。
有一个等角螺旋，可以表示为:
这是基于自然常数e的指数函数。
自然界中，有很多对应的例子。
例如，鹦鹉螺壳的剖面呈现出美丽的等角螺旋:
温带低压看起来也像一个等角螺旋:
甚至螺旋星系的旋臂也像等角螺旋:
也许，这些就是常数e被称为自然常数的原因之一。
