数学的力量
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数学的功能不仅仅是知识，更是工具。在整个教育过程中，数学对人才的培养起着重要的作用。一门学科一旦和数学中的某个问题联系起来，往往就能实现飞跃。这方面的例子很多。Hauptmann获得了20世纪80年代的诺贝尔化学奖，解决了如何用X射线确定晶体结构的问题。Hauptmann曾经说过:我的化学水平是在大学学了半年的普通化学，别的什么都不懂。事实上，他主要通过数学方法解决了X射线确定晶体结构的问题。数学经常可以在不同的学科中发挥作用，但这不是人们可以预先预测的。
从科学发展的角度来看，数学一直与许多学科密切相关，数学的发展与许多学科的发展起着相辅相成的作用——要么是数学的发展促进了其他学科的发展，要么是其他学科对数学提出了一些具体的问题，反过来又促进了数学的发展。
有人说数学是科学的女王。许多数学家不同意这种说法。数学不是孤立于其他学科，而是与其他学科共同补充、共同促进、共同发展的。用伙伴关系来描述数学和其他学科的关系可能更合适。
从历史发展的角度来看，数学对科学的发展起到了什么样的推动作用？
我们先来看看计算机设计思想的出现。众所周知，世界上第一台计算机出现在1946年。计算机设计的最早思想可以追溯到20世纪初。1900年，数学家希尔伯特在第二届世界数学家大会上提出了23个问题——这是每个研究数学的人都知道的事情。这23道题一方面总结了19世纪数学的发展，同时也指出了20世纪数学应该向何处发展，对20世纪的数学研究产生了很大的影响。
这23个问题之一是:有没有办法判断一个积分系数的多元多项式系统是有理数解还是整数解？按照数学的语言，就是有没有算法的意思。这个问题引起了一些数学家的注意，希望得到一个明确的答案。然而，30多年后，人们逐渐发现这种算法是不可用的。在数学中，很容易在某种程度上证明“你有”。要证明，就得给出一个算法，可以用来判断。然而，如果你想说“不”，你需要解释什么是算法。可以说算法是死方法。当然，它不是一种严格的数学语言，但人们通常可以理解它。如果你想证明这样的东西不存在，你不能就这样理解它们。因此，直到1936年左右，数学家才定义了算法。
科学发展中经常会出现一种奇怪的现象，那就是一个问题很多年后都无法解决，但是在某一个时间，几个人同时用不同的方式解决了这个问题。定义算法的问题也是如此。1936年左右，有几个人给出了算法的定义。算法有一个定义，现在叫图灵机。图灵机是一种比较理想的计算机，比较接近现在的计算机设计思想。可以说，图灵机的定义是后来计算机设计思想的重要来源。由此可以看出，一开始提出的是一个纯粹的数学问题，我根本没有想过设计一台计算机。但是要想解决这个问题，就必须定义算法。现在能发挥这么大作用的计算机的根源是一个数学问题，而对这个数学问题的研究，事先也没想到会有这么大的影响。这个例子表明，从一个纯粹的数学问题出发，其结果不仅解决了数学问题，而且对其他学科也有重要影响。
另一个例子是“群论”。如今，每个从事数学的人都知道什么是群体。然而，群的定义产生于20世纪50年代，最早来自解方程。众所周知，二次多项式的解就是所谓的根符号。人们大约在2000年前就知道这个问题，我们在初等数学中也学过。这里有一个有趣的过程:用系数表示根。一旦解了二次方程，就很容易想到三次，也就是一元二次方程是否有类似的公式。到了15世纪，二次方程被求解，公式非常复杂。很快解四次方程的公式就出来了。数学家有一个爱好，所以总想普及一下。现在有二次公式，三次公式，四次公式，五次公式怎么样？大家都以为应该有五次，没想到在五次方程上遇到了大问题。几百年后，他们直到19世纪初才解决这个问题。19世纪30年代，法国一位名叫伽罗瓦的年轻数学家提出了一个伽罗瓦理论:即给出了一种确定方程有多少根可以用系数表示的方法。表达就是用加减乘除和方子来表达。在这种情况下，提出了群的概念，最终用群的方法解决了这个问题。起初，这个结果被送到法国科学院，那里一位非常重要的科学家认为这是无稽之谈，所以一直被忽视。直到20世纪50年代才正式出版，于是就提出了群体的概念。伽罗瓦的结果在20年后得到认可。
群的概念是纯粹从一个数学问题提出来的，但它提出后，首先被用来解决化合物中几种晶体的问题。从19世纪末到20世纪初，俄罗斯化学家用群的概念来解决晶体结构有多少种。其实群的概念是一个很好的对称性度量，可以解决用什么来度量对称性的问题，即它的变换群的结构是什么，有多少。这是另一个纯粹从数学提出的问题，但它的使用远远超出了数学例子。数学中有很多这样的例子。
下面的例子说明了实际需求如何促进数学的发展。第二次世界大战期间，德国的空军队非常强大，飞机数量多，质量好。为了解决如何以劣势空军队打败德国空军队的问题，美国找到了一批数学家，冯·诺依曼就是其中之一。结果冯·诺依曼通过研究这个问题发现了博弈论。近几十年来，博弈论一个非常重要的应用就是研究经济数学，经济数学已经发展成为经济数学不可或缺的基础。
数学研究的对象是什么？这个问题不好解释。
过去，恩格斯在《自然辩证法》中提出了数学的定义。他说数学研究客观世界中空之间的数量关系和形式。恩格斯的定义是在19世纪提出的。随着20世纪数学的发展，很多东西都不能用这个定义来概括。说到数量关系，也就是说数学研究的是数字的运算，但是随着数学的发展，数学运算的对象远远超过了数字。例如，群论对群元素起作用。甚至还有其他人。可以说与操作无关。因此，说数学是对数量关系的研究是不够的。还有当时理解为客观世界的空形式，也就是俗称的三维空空间。然而，几何学的研究已经远远超出了三维，涉及四维、五维、多维甚至无数维。因此，用19世纪的定义来概括数学是不够的。
如何定义数学？到目前为止，还没有一个令人满意的定义。这也说明数学的定义很难。例如，有人认为数学是一个研究量。如果去掉“数”字，他说有“数”就太死了。数字是整数和分数。那么什么是数量呢？所谓量，是一个哲学概念。现在有人说数学研究秩序，也就是说研究数学的目的是为了给世界秩序。这种说法不是数学语言。想想也有道理，但不清楚。由此可以看出一点，因为数学的研究对象是抽象的，数学不同于其他自然科学和社会科学。这些学科有非常具体的对象，但数学没有。数学可以应用于自然科学、社会科学甚至人文科学，因为它是抽象的。首先，数学研究对象的抽象可以训练人以抽象的方式思考。甚至从数学中的自然数开始，就已经是一个非常抽象的概念，而数的概念只有经过很多层的抽象才能得到。因此，历史上花了很长时间来区分多数和单数。只要我们研究一下数学发展史，就会发现数字概念的形成并不容易。因此，学习数学可以培养人的抽象思维能力。
为什么抽象这种思维方式如此重要？因为人要想把握事物的本质，就必须摆脱许多不重要的东西，要想抛弃许多非本质的东西，就必须通过抽象思维来解决。抽象思维方法对于学习科学甚至处理日常生活中的问题都很重要。没有抽象的能力，就不容易区分现在要解决什么问题。这是数学的突出特点，即它的抽象性。数学的抽象性使得它在很多方面得到了广泛的应用，甚至是在完全不同的方面。
第二个特点，因为数学的抽象性，数学对象的定义必须明确。然而，其他学科对定义有不同的要求。一般来说，你可以大致描述它是什么，听者也能理解。但是，数学由于其抽象的对象，无法描述，必须有严格的定义。定义在数学中非常重要，每个人都能理解。在教学中，我发现其他系的老师在数学系讲课时经常会遇到很大的困难。因为经过一段时间的数学学习，学生们会要求对所有事物进行定义。比如物理系老师讲课，他讲“力”的时候，学生要求给“力”下定义，很难。老师很难用三言两语把“力”描述清楚。与数学中的“圆”不同，它是一个与一个点距离相等的轨迹，这一点表述得很清楚。
化学中的很多东西都可以通过描述来理解，很明显没有必要去定义。为什么数学对定义有这么严格的要求？因为它的对象是抽象的，如果定义不明确就不能讨论。因此，数学需要对概念进行非常准确的描述。我经常开玩笑说，一个数学系的学生，只要定义不清楚，就听不懂。从这个意义上说，它有它的优点和缺点。缺点是一切都需要定义，会有问题。不是所有的事情都可以定义如下。因此，数学的第二个特点是要求对概念有非常准确的描述。
数学的第三个特点是逻辑严密。因为抽象，所以它的展开只能靠逻辑，这也是对人非常重要的训练，从平面几何就可以理解。平面几何起什么作用？年轻的时候，也就是大学学了数学之后，就宣称平面几何没用。20世纪50年代，我参加了中学数学的教学改革，经常说要废除平面几何。当了几年老师，我发现学过平面几何的学生和没学过的学生不一样，也就是想证明一个问题，学过平面几何的学生容易接受，没学过平面几何的学生更难接受。“文革”期间，很多同学会问，是否证明了一个三角形的三个角之和等于180度。这么简单的问题还需要证明吗？拿个量角器量一下就行了，弄得我们老师哭笑不得。这说明逻辑思维能力是需要通过一些具体的东西来培养的，平面几何是培养人逻辑思维能力的一个很好的媒介。
数学课有三个特点。通过学习数学，我们可以获得良好的思维习惯和思维方法，这将在无形中对人们起到作用。数学与其他学科的关系不仅相互促进，而且给人的不仅仅是知识，还有一种思维方式。数学其实是文化的一部分。数学是理性和思维的典型例子，数学的以上三个特点都是关于理性思维的。
数学仍然是文化的一部分。在中国传统文化中，理性思维不被重视。有人说，比如文艺复兴以后，很多西方哲学家喜欢搞哲学体系，这是他们的习惯。这个习惯是好是坏是另一回事。中国非常不同。《论语》是中国一部非常重要的古书，是一种体裁。里面很多字都是警句。指出要点，不讨论也不需要讨论。你一听就能明白。这反映了中国的思维习惯。中国传统数学书籍的一个特点是充满了例子。比如数学中的重要理论孙子剩余定理，告诉你剩下的三个或三个数，剩下的五个或五个数，剩下的七个或七个数。它组成一个公式，根据这个公式得出结果。它既没有被证明，也没有形成体系，这是中国数学和中国文化的一个特点。
数学是文化的一部分，它体现了一种思维方式。数学学习也是培养人的逻辑思维能力的重要途径。过去，在教学改革中，我们提出可以通过上逻辑课直接获得逻辑思维能力，我们也在中学开设了形式逻辑课，但最终证明效果不佳。有些逻辑思维的规律讲了很久，学生听不懂，更不用说运用了。后来人们承认，人的逻辑思维能力是不能通过上逻辑课来培养的。平面几何最大的优点是内容非常直观，平面几何的载体可以有效培养人的逻辑思维能力。数学理论的逻辑非常严格，所以人们不能把逻辑和具体内容分开，所以没有人能理解或学习它。通过数学的学习，逻辑思维能力逐渐提高。数学是文化的一部分。学习数学可以培养人的能力，提高人的素质。
数学知识可以分为两种，一种是比较基础的，必须要学的；还有一种提高，需要的时候再学也不迟。比如十几年前，大家都觉得计算机有广阔的应用前景，于是就学习了计算机语言。我们应该学一点计算机语言，但后来的经验是，多学点语言学是没用的。语言有一个特点，学了就会很快忘记。还有一点就是计算机技术发展很快，计算机和人的关系越来越密切，学习起来也很容易。
综上所述，数学不仅仅是知识，更是培养人的能力，提高人的素质。质量只是有点弱。有同志经常说数学是美的享受，我不太懂。你说数学很美，有时候也可以说很美，但是我不太明白美的享受会对我造成多大的影响。数学是美的享受，可以说，但怎么说也不过分。不管怎么说，数学是一门很特殊的科学，可以给人一种无形的影响。
记得有位数学家曾经说过，今天数学教育的质量决定了我们明天科学人才的水平。
资料来源:安徽科技，2002年第10期
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