每天思考，每晚做梦。我每天都做数学，梦里都有数学题。有趣的题太多了，从中考到李群、李代数，有的大学研究生以后才研究。

作者|仙道

《红楼梦》里有一个故事:香菱学会了写诗，但是她用了很多心血也没能写好，但是她在梦里写了一首好诗。当然，这有点“怪力混乱”。据说著名的小提琴音乐《魔鬼的颤音》也是在梦中制作的。那么这样的事情在现实中真的会发生吗？我关心的是:我能在梦里做数学吗？

也许有些天才可以，但我们普通人不行。在我的梦里，场景瞬息万变，跳跃不断，每一个场景持续的时间都很短，更不用说逻辑了。证明一个定理需要多步推理和反复测试，这在梦里肯定是不可能的。

然而，在梦里有一个好的想法并不是不可能的。如果我梦见一首诗中一个美妙的词或句子，我仍然相信它。但另一个问题是，大多数梦醒来后都会被遗忘。只有当他们梦见精彩的句子时突然醒来，才能被记录下来，传递给世界。

至于数学，我最近多次遇到这样的好事。写出来和大家分享是数学的“白痴梦”。

一个

日有所思

在解释什么是“晚上做梦”之前，有必要先解释一下“每天都在思考”。

因为在新冠肺炎受欢迎，我像其他人一样呆在家里。首先要做的是修改《李群与李代数基础》这本书。这是出版社2015年的草稿。去年8月，我计划再次谈论最终草案。之后顺利完成，但整理稿件的工作量还是很大的。幸运的是，不幸的是，新冠肺炎给了我时间，学校延期了。开学后，我在网上授课，所以我有将近两个月的连续工作时间，终于在上周完成了修改工作，并将稿件提交给了出版社。所以现在有时间聊一些轻松的话题。

开学后的教学工作当然与数学有关。一方面，我认为肯定不可行的研究生课程“交换代数与同调代数”采用了“线上讨论课”的教学方式。自从实施以来，效果相当不错，因为学生经常先回答问题，到处查资料。微信群里每个人上传的文件都很多，还有一些贪财的同学上传整本厚厚的书，比如EGA和布尔巴基学校的书。除了研究生课程，我还有本科生甚至中学生的教学任务。目前没有什么值得一提的进步，但我还在努力。

应该说这些任务并不难，不然我只会在晚上做噩梦。但毕竟每天都在玩数学，数学题经常出现在我的梦里。有些我醒来还没忘，感觉有点意思。让我们一个一个写下来。不是按照做梦的时间顺序，而是按照难度从低到高。

二

夜之梦

01

梦见数学题

记住，就是“黄金分割数”。我梦见了一个问题:应该有两个整数an，bn，这使得

ω-n=an+bnω，

在梦里，当我想到an，bn应该有一个递归公式，我努力尝试后醒了。

醒来想想，这个问题有意思，因为答案是ω-n=Fn+1+Fnω。

其中它是斐波那契数列，对于n>1满足F1=F2=1和Fn+1=Fn+Fn-1。

证明当然不难，方法也很多，但似乎没有微不足道的一种。

所以我给了中学生。

02

梦见本科问题

我不知道如何梦见一个数字满足递归关系。醒来想想。我见过很多类似的递归关系，但是从来没有见过同一个。

这种递推关系的有趣之处在于，只要a1>0，序列总是收敛的，但它可能增加也可能减少，它可能既不增加也不减少。

并且它的极限总是ω-1。

递归关系也可以改为，其中a是固定的正实数。

我觉得这个题目对于一个本科数学竞赛来说已经足够了。你怎么想呢?

03

李群的梦与李代数的一个问题

让复变量z的幂级数收敛半径为r，真的很苦。

最好想一个没有特色根的办法。后来，受Wilsterras的初步定理的启发，我找到了一种方法来写下面的练习。

学习问题

设复变量z的幂级数的收敛半径为r. A映射σ:VV叫运动，如果保持一个距离，就是任意的。证明了存在一个正交变换和一个使任何和所有。证明所有动作构成一个李子群，写成。

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这些都是我做梦前知道的，所以出现在梦里也就不足为奇了。梦里的潜意识导致了计算的李代数。

由于不是的子群，李代数关于线性群的结果不能直接应用。但是一个好的线性表示可以用来解决这个问题。

这给这本书增加了另一个练习。

三

尾部声音

抗疫期间你们都好吗？大家好。

如果你整天看的都是疫情新闻，这篇文章会打断你。

在这段时间能做几个好梦，算是不幸中的小幸了。

不知道你有没有做过数学的好梦。如果有，请分享。

谢谢大家。

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