圆形区域“化圆为方”的算法

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西方数学体系传入中国时，中国学者在感叹中国古代数学研究的先进性和自成体系的同时，也对中国古代数学研究的发展进行了梳理，最终认为中国古代数学家的“毕达哥拉斯”“双差”“天元”“四元”其实是西方数学的源头。

明清时期，西方数学体系传入中国。中国学者在震惊的同时，不断反思中国古代数学的发展，探索中国古代数学与当时西方数学的异同。经过一番研究比较，人们认为当时的西方数学知识虽然先进、自成体系，但在中国其实是“古老”的，这并不奇怪。康熙时期，“西学之源”的理论得到了许多学者的认可。他们认为商高、陈子等人的“毕达哥拉斯术”、刘辉的“重差术”是西方几何的源头，叶莉、朱世杰的“天元术”、“四元术”是西方代数的源头，杨辉、朱世杰等人的“叠加术”。这一思想的形成，无疑源于中华民族源远流长的“古老而自豪”的民族性格。我们的古人在数学方面做出了巨大的努力和贡献。让我们不要忘记这些光辉的名字:尚高、陈子、刘辉、祖冲之、祖璇、沈括、秦九韶、杨辉、叶莉、朱世杰...

“老公起不了步，土地得不到大小和程度，人数安全吗？”

-周公

3000多年前的一天，周代著名政治家周公在纣王的花园里遇见了数学家商高。

周公问商高:你们数学家不是故弄玄虚吧？你们怎么都知道天空有多高，太阳月亮星星一天走多少度？“老公起不了步，土地得不到大小和程度，人数安全吗？”

尚高平静地回答:数学家学习的奇妙之处在于，并不是所有的东西都需要用尺子来测量，而是只有通过数学计算，才能得到正确的数字。比如这个直角三角形——他用一头牛的大腿骨和一根绳子作为道具，比划比划，向周公解释说:牛的大腿骨立在地上，有四英尺的高度，从牛骨头的底部沿着地面拉伸一根绳子，这样这根绳子正好有三英尺长，然后剩下的绳子折叠到牛骨头的顶部。最后一根斜向牛骨顶端的绳子应该有多长？不需要用尺子量。它的长度必须是五英尺。因此，数学家计算太阳的高度并不少见。

商高得出结论，在直角三角形中，如果两个直角边的长度分别是三和四，那么斜边的长度一定是五，“勾三股四弦五”。这一著名论断记载在名著《周彪经》中，是后世所知的勾股定理的特例。

毕达哥拉斯定理作为自然界的一个秘密，注定会被世界各地的人们发现，或早或晚，因为这个定理就藏在人们身边。在每一个直角三角形中，除非你从不建造房屋、马车、陵墓或金字塔，否则这个秘密必然会被人们发现。

在中国，勾股定理的发现属于这位名叫商高的数学家和天文学家，所以后来有人称之为“商高定理”。当然，如果只有一句话“勾三股四弦五”，也不是真正全面的阐述勾股定理的内容。“勾三股四弦五”只是勾股定理的一个特例。

几年后，周公的后代陈子成为了一名数学家。他详细描述了一整套利用毕达哥拉斯定理测量太阳高度的方案。为此，陈子说了一句比较重要的话，这也是《周记·苏静》一书中所记载的。他说:“那些寻求向太阳倾斜的人，把太阳当成一个句子，把太阳当成一个股票，把股票乘以另一个，再除以平方。”

“岛屿计算”说明

在商高和陈子时代，人们认为他们脚下的地球是一个无限大的平面。只要他们知道从观测点到太阳正下方的距离和太阳离地面的垂直高度，他们当然可以找出太阳到观察者的直线距离。从观测点到太阳正下方，太阳到地面的垂直距离是一串，观测点到太阳的剩余距离是一串。虽然它不同于我们今天对勾股定理的表述，但它也是勾股定理的完整表述。

据《周记·苏静》报道，陈子和他的研究团队测量了太阳下6万英里和太阳上8万英里的距离。根据毕达哥拉斯定理，他们倾向于每天10万英里。然后他计算了太阳的直径。为了达到这个目的，他用一根八尺长空直径一寸的竹筒观察太阳，使太阳正好充满竹筒的圆孔。这时，太阳的直径和它与观察者之间的距离之比正好是竹筒的直径和长度之比，也就是一比八十。

可惜这些结论都是错的！

“这也是高瞻远瞩的艺术……”

陈子

似乎陈子是当时数学界的权威。除了前面提到的尚高，这本书的其余部分都是关于陈子的。

一天，一个叫的人来问:我听说根据王先生的知识，我们可以计算太阳有多高多大，太阳一天走多少英里，天空有多高多远。简而言之，我们可以知道我们想知道的。是这样吗？

陈子回答:是的。

等了一会，不见下文，只得又问:“方虽非外省人，望师父有幸说出来。”陈子回答:其实没什么难的，只是用一些算术方法就够了。回去好好想想。就这样，房融被送了回来。

房融回去想了好几天，还是想不出什么好办法来计算太阳的高度。他不得不再次问陈子:“方思拿不到，敢问吗。”

陈子说:“现在想还不成熟。这也是‘远望之术’，如果儿子拿不到，那儿子就在号里，不及格。就是智慧低贱，上帝可怜。”他毫不客气地批评了房融。

《九章算术》的书影

注意陈子“望远举高”的思想，这是人们在生产实践中，特别是在大型建筑活动中掌握的一套方法。陈子认为它也可以用来测量太阳的高度。

倒霉的荣方思考了好几天，还是想不出问题的答案。他不得不第三次征求意见。陈子把这个方法准确地告诉了房融。从此，一部《周彪心经》一直到最后都是对陈子演讲的记录。

陈子说话很自信，但他没有意识到许多他认为理所当然的事情实际上是错误的。他不知道自己脚下的地球看似无边无际、一马平川，其实只是一个小球，只有太阳的130万倍大。以微小的地球来衡量太阳的伟大，等于“以海测海”。

除了太阳的高度，陈子还谈到了很多问题，比如天空有多高，太阳一天走多少度，都有答案。因此，人们认为《周快经》是另一种天文学研究，它记录了当时人们已经掌握的大量天文学知识。在书的最后一部分，陈子指出一年有三百六十五天，十二月有一刻钟，十二月有七天，一月有四百九十九天。

因此，陈子3000多年前的知识并没有那么简单，虽然他并不全对。

“看着阴阳分离，我终于找到了艺术的根，探索了休闲，体会到了它的意义。”

-刘辉

三国魏晋时期，中国出现了一位伟大的数学家。他的名字叫刘辉。

测量圆和海镜的书影

根据刘徽的作品推断，他生活在“三国魏晋时期”。没有人知道他的出身和生平事迹，但应该可以肯定的是，他的家庭条件比较好，因为从小，他就有机会在老师或长辈的指导下学习数学，就像他自己说的:“年纪轻轻学九章，细看。看着阴阳分离，我终于找到了手法的根源，探索到了休闲，体会到了它的意义。”我学数学也不是一两年了。

刘徽一生在数学上取得了巨大的成就，其中最著名的一项就是他详细记录了用“割线圆”计算圆周率“密度”的方法，这绝对是当时世界上领先的数学成就。

刘辉还研究了当时商高和陈子遗留下来的数学问题:“猜猜太阳有多高”。刘辉吸取了前人的经验，提出了更完善的方案。如果我们脚下的地球真的是一个没有边的平面，那么刘辉的方法真的会算出太阳的高度。他的计划是:

在洛阳城里立了两块表，高八尺。北方和南方是平的，同一天，他们在场景的中间。以风光差为法，表乘表，现实如法。如果收入按表增加，当天就去土地。南面来的风景是面与面之间的现实，现实和规律是一样的，就是南面往南穿太阳。拿南方穿太阳，太阳下地当句子和股份，为他们找弦。

让我们简单翻译一下。一般来说，他的计划如下:

在洛阳城外的空地上，南北各立一根高八尺的杆子。当天中午，测量太阳向这两个极点的投影。阴影的长度之差作为分母，极点的长度乘以极点之间的距离作为分子。将两者分开，然后加上杆子的长度，得到太阳到地表的垂直高度。然后将南极的阴影长度乘以作为分子的两极之间的距离，再除以阴影长度的差，就得到南极到太阳的距离。将这两个数作为直角三角形的两个直角边的边长，利用毕达哥拉斯定理求出直角三角形的弦长，得到太阳与观察者的实际距离。

测圆海镜的书影二

当我们按照刘辉的思路把他的计划变成一个几何图形时，我们会惊讶地发现，他的计划看似莫名其妙，不合逻辑，但实际上，它利用了相似三角形对应边的增长比原理，巧妙地用一个中介三角形将另外两个看似不相关的三角形连接起来。这一切和我们今天在中学几何课本上学到的完全一样。刘辉生活在近两千年前的时代。

“虽然天空的形象还可以测量，但泰山的高度和江海的宽度是巨大的！”

-刘辉

和陈子一样，刘辉测量太阳高度的计划也是错误的，因为前提错误。然而，这个计划本身并不是专门为测量太阳高度而设计的。计划最初的目的是测量地面上的山川，山有多高，河有多宽，路有多远。只要地球表面是球体，刘辉的计划就是完美的。

有一次，长沙马王堆汉墓出土了一张帛画地图。人们把它和实际地形进行了比较，发现地图出奇的准确。考古学家还以这张近两千年前的地图为指引，在周边地区发现了其他地下遗迹。这似乎很难相信，但以刘辉记录的这一套测量天空和地球的方法，这并不是奇迹。

刘辉总结的这一套测量天与地的数学方法，叫做“重差”。“重差”也是刘辉数学著作的书名。这本书研究的第一个例子是一个岛屿有多高多远，所以它也有一个名字叫“岛屿计算”。这本书不长，似乎从来没有出版过一本书。它长期附在《九章算术》中，在世界上流行，所以历代《九章算术》共有十卷。

刘徽《九章算术注》

刘辉对“重量差法”做了全面总结。无论山有多高，河有多宽，沟有多深，都可以用重量差技术。其原理是用两个或两个以上的基准将被测物体带入一组相关三角形的中间，然后通过三角形之间的关系计算出所需物体。显然，古代的“重差术”现在被称为“测量术”或“作图术”，就是陈子提到的“望远举高术”。

大差分技术已经过实践检验。刘辉曾自信地说，使用这种方法，“虽然天空的形象仍然可以测量，但泰山的高度和河流和海洋的宽度是广阔的！”

“乘以半圆半径的乘积步长”

——《九章算术》

和直角三角形一样，圆也隐藏着一个自然的秘密，那就是圆周率。

我们的古人是如此的有才华，以至于外国数学家，无论是在中国，都是如此的聪明，以至于他们发现了计算圆面积的方法，这让人们想知道他们是否能钦佩它。

重绘“测圆海镜”插图

我们试着在纸上画一个圆，沿着直径把圆分成两个半圆，然后:像切西瓜一样把两个半圆切成八块，像切八个西瓜一样一个一个放在桌子上，或者想象成只有八个齿的梳子。现在我们有两把这样的梳子，然后把这两把梳子齿对齿地插在一起，这样就做了一个近似的长方形，这让我们做一个进一步的假设。假设我们把半圆分成60甚至360份，而不是8份。然后，长边会变成近似直线，非常接近半个圆的长度。

两千多年前，人们通过“化圆为方”，将圆周的一半乘以圆的半径来计算圆的面积，正如《九章算术》中的方所指出的:

“田源...艺术上说:乘以半个圆的半径就可以得到台阶。”

圆面积的计算方法太简单了，简单到一层足够的纸，戳一下就会破。然而，几千年前的数学家们，不知花了多少时间，经历了多少不眠的思念，终于破了这张够用的纸。

算术九章的书影2

如果圆的直径是两英尺，包含六个脊的圆的一边等于圆直径的一半刘辉详细写了如何计算“圆周率”，即圆周与圆直径的比值。

在长期的实践中，人们发现圆的周长和直径之间有一个固定的比值，它的值约为3，但又多了一点。《九章算术》方第三十一题:今有圆场，一周三十步，十步。求场几何？

当我们看这个圆的时候，它有问题。世界上没有直径10、周长30的圆。“一周三周”是中国古代圆周率的“近似比例”。在整本《算术九章》中，圆周率采用了这个近似比例。显然，这个近似比例相当粗糙，给人们的生产生活实践造成了很多麻烦。数学家知道圆周率一定不是3，而是一个略大于3的数。追逐大自然的秘密圆周率的竞赛开始了。

圆周率的突破是刘惠来完成的。刘徽在注释《九章算术》时，详细记录了用“割圆法”计算圆周率的方法。他正确计算了刻有正192边和3072边的圆的边长，从而得到3.14和3.1416的圆周率值，成为当时世界上首屈一指的数学成就。这是我们都熟悉的历史事实。

“割线圆”的方法是不断增加内接在圆上的正多边形的边数，使这个多边形的边长不断逼近圆周。刘辉在《九章算术注》中写道:“如果圆的直径是两英尺，圆的一边包含六个脊，等于圆直径的一半。直径闭合率为1，周长闭合率为3。”画一个直径为两英尺的圆，在圆上做一个内接正六边形。正六边形的周长与圆的直径之比为三比一。正六边形的边长正好等于圆的半径。利用这个条件，根据勾股定理，可以得到这个等边三角形的高度。一切从这里开始，按照同样的步骤重复。圆内接的正多边形的边长会接近圆的周长，得到的圆周率会越来越精确。

分圆法

刘辉想到了，做对了。可以想象，用这种方法计算圆周率需要多么庞大的计算，复杂的处方计算被重复使用。然而，古代数学家毫不畏惧，勇敢地迎接挑战，并为揭开这个隐藏的秘密而不懈努力。

“贫穷的岁月引起野心，而我感觉在做梦。好在我知道自己不敢隐瞒。”

——秦

祖冲之比刘徽晚一点，也是著名的数学家。他还用“割圆术”的方法去追寻自然界中圆周率无穷无尽的秘密。通过努力，他也取得了很好的成绩，创造了新的记录，并为后世所熟知。

与刘徽的情况略有不同的是，祖冲之当时在政府任职，所以在官方史书中留下了一个简短的传记。据说他很聪明，曾经设计制造过一些自动化机器，可以和诸葛亮的“牧牛刘妈”相提并论。

祖冲之子祖宣也是数学家。父子二人合写了一本数学书叫《诸书》，记载了他们在3.1415926到3.1415927之间的圆周率计算成就，这在当时也是非常突出的成就。可惜《朱书》一书后来失传，后人只能从其他作品的语录中看到这本书的片段。

祖璇比父亲更痴迷于数学。当他想到数学时，即使天上有雷声，他也可以充耳不闻。有一天，祖璇在走路的时候，想着数学题，不小心撞到了别人的身上。这是作为一个笑话流传下来的，事情被写进了他们父子的传记。

《测圆海镜》书影3

十三世纪宋元时期，中国古代数学的发展迎来了黄金时代，达到了新的高峰。不幸的是，这是中国古代数学史上的最后一个高峰。此后，中国古代数学一直没有突破，而西方数学研究取得了很大进展。

在这最后的黄金时代，出现了中国最重要的四位数学家，被后人称为“宋元四大家”。他们是南宋的秦、杨辉，金元的，元的朱世杰。

早年，秦九韶“访太史，尝隐逸君子之数学”，学成之后，写出了名著《九章算术》。在这本书的序言中，秦写道:“数学精妙，不易窥见，岁月穷志，我觉如梦。好在我知道自己不敢隐瞒。”我做梦很久了。一旦有所收获，我会迅速记录下来，留给后人。科学，在这样点点滴滴的努力中，取得了进步。

杨辉是南宋另一位著名的数学家。他写了许多数学著作。除了在学科上开拓了一些领域外，他还对《九章算术》中的题目进行了重新编排和分类，引导人们学习，为古代数学的教育和普及做出贡献。

朱世杰是元代著名的职业数学家。后来，他被称为“环游湖海20多年的著名数学家”、“学者追随”，学术地位非凡。朱世杰在数学方面的代表作有《数学启蒙》《四元玉镜》。《数学启蒙》是一本著名的大众数学书籍，已经传播到韩国、日本等国家。在古代朝鲜，它作为一个学者，深刻影响了这些国家的数学教育和发展历史。四元玉镜是我国宋元时期数学高峰的又一标志，其中最突出的数学成就是“四元术”、“叠法”、“招差术”。

里耶展厅

四个人中最好的应该是叶莉。

“大门紧闭，学者云集”

——《四元玉镜》序

“宋元四大家”之一的叶莉，栾城人，阿津学者。当蒙古帝国的军队入侵中原，围攻南京的汴梁时，叶莉被围困了。城破后，叶莉北上，来到河北一个叫“凤龙山谷”的地方，隐居了二十年。在这里，叶莉开办了一所名为“丰隆书院”的学校，教他一生潜心钻研的数学。叶莉写过两部数学著作《测圆海镜》和《一古衍段》，其中《测圆海镜》的完成标志着《天元书》的成熟，《一古衍段》则是对《天元书》的通俗解读。

在他的著作中，叶莉研究了将实际问题转化为高阶方程的数学模型。他把方程中的未知数叫做“天元”，把他的解法叫做“天元”。有研究者指出，叶莉的“测圆海镜”标志着“天元术”的成熟。此后，郭守敬编著了元代《计时历》，用“天元术”求绕天弧度，用“天元术”解决水利工程中的计算问题，都收到了很好的效果。“天元数”迅速发展为“二元”、“三元”，甚至朱世杰的“四元”，成为中国传统数学发展史上的一个高潮。

马王堆出土地图

1265年，在元世祖忽必烈的再三邀请下，73岁的叶莉离开风龙山谷来到北京，在元朝刚刚建立的国子监工作。可以想象，一个隐居了20年的老数学家，在翰林院这样的机构里，能有多大作为。这份工作显然不适合叶莉，于是他“上任一个月就辞职了”，并毅然带病辞职。

叶莉离开北京回到山里，再也没有离开过凤龙山山谷。他继续学习和教授数学，直到87岁去世。历史学家评价叶莉:“讲书，偷偷做算术，能独写道德文章，自律，永不死。”他还有两首流传至今的诗，很好地道出了他在丰隆书院的身心状态:“潜行无千年笑，十年成书！”

李冶墓修复

公元1279年初，南宋最后一支武装力量在广东雅山水域崩溃。一天后，一位87岁的数学家在遗嘱中写道:“我写了一辈子，死后能烧多少就烧多少。虽然我的十进制数是九或九，但我经常努力思考并致力于此。后人一定知道。我能不能把它广为流传，永远挂着？”

在我之前，那些时代都去了哪里？在我身后，下一代在哪里？，中国古代数学家的生活是如此的孤独！叶莉老人不知道，当年他学习的“99小数”已经成为今天人类最重要的知识之一，不仅“广为流传，永垂不朽”，而且日新月异，造就了一大批人才。后人永远不会忘记这些古代数学的先驱。1992年，在叶莉的故乡河北栾城，为纪念叶莉诞辰800周年，建起了“叶莉展览馆”。中国古代数学家叶莉，在中国乃至世界都被公认为文化名人。

叶莉先生什么都知道，所以他可以无怨无悔地微笑。

秦雕像