小咖有话说：经常关注医咖会的小伙伴可能知道，我们之前已经推送过多篇关于“多重线性回归”的文章。这次推送的版本呢，有些内容在之前讲到过，有些内容是新添加进去的。对多重线性回归感兴趣或者未来有可能用到的伙伴，这篇文章请务必收藏，因为讲解实在是太详细了。

一、问题与数据

最大携氧能力是评价人体健康的关键指标，但因测量方法复杂，不易实现。具体原因在于，它不仅需要昂贵的试验设备，还需要受试者运动到个人承受能力的极限，无法测量那些没有运动意愿或患有高危疾病无法运动的受试者。

因此，某研究者拟通过一些方便、易得的指标建立受试者最大携氧能力的预测模型。该研究者共招募100位受试者，分别测量他们的最大携氧能力，并收集年龄、体重、心率和性别等变量信息，部分数据如下：

本研究Durbin-Watson检验值为1.910。一般来说，Durbin-Watson检验值分布在0-4之间，越接近2，观测值相互独立的可能性越大。即，本研究中多重线性回归的观测值具有相互独立性，满足假设3。

多重线性回归不仅要求因变量与所有自变量存在线性关系，还要求因变量与每一个自变量之间存在线性关系。应该如何检验这个假设呢？

经上述SPSS操作，我们得到未标化预测值和学生化残差两个新增变量。为检验因变量与所有自变量之间是否存在线性关系，我们需要绘制这两个变量的散点图。

其实这个表并不是为多重线性回归模型设计，主要描述的是逐步回归和层次回归的变量纳入情况。但我们依旧可以从这个表中看到该研究的基本信息： Variables Entered栏显示该研究纳入的自变量包括gender、age、heat rate和weight； Method栏显示纳入方法为Enter； 该回归模型是Model 1。

2. 判断多重线性回归模型的拟合程度

判断多重线性回归模型拟合程度的指标有很多，我们主要向大家介绍多重相关系数、变异的解释程度、模型的统计学意义以及预测值的准确性4个指标。

从表中可以看出，年龄斜率的95%置信区间在-0.290～-0.041ml/min/kg。同时，在Sig栏可以得到斜率的统计学检验结果，如下：

2. 具体汇报

本研究采用多重线性回归，根据性别、年龄、体重和心率预测最大携氧能力。通过绘制部分回归散点图和学生化残差与预测值的散点图，判断自变量和因变量之间存在线性关系。

已验证研究观测值之间相互独立；并通过绘制学生化残差与未标化的预测值之间的散点图，证实数据具有等方差性。回归容忍度均大于0.1，不存在多重共线性。异常值检验中，不存在学生化删除残差大于3倍标准差的观测值，数据杠杆值均小于0.2，也没有Cook距离大于1的数值。Q-Q图提示，研究数据满足正态假设。

表1. 多重线性回归结果

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