大家好！今天给大家分享一个加拿大初中数学奥林匹克竞赛:解三元二次方程。题目是一个不复杂的三元二次方程组，但当老师给初中生时，整体正确率不到5%。让我们一起来看看这个比赛。

以上题目:解方程:xy=z-x-y，xz=y-x-z，yz=x-y-z..

先看这个方程组的特点，很明显每个方程都有相同的形式，是一个循环方程组。再仔细看，我们很容易看出x=y=z=0和x=y=z=-1是方程的解。但是如何找到这两套方案，除了这两套方案还有其他方案吗？

这是一个多元方程组，求解多元方程组的基本思路是消去法。常用的消元法有代换消元法和加减消元法。比如我们初中学的二元一次方程和三元一次方程的解都是一样的，所以这个问题虽然是多元高阶方程，但是我们也可以试着消去。

加减消元法

依次用序号标记方程式，然后加减公式。但由于左侧有乘积的形式，与一阶方程不同，不会简单地消去其中一个未知数，但后面还有三个未知数。但是如果继续对公式进行处理，就可以得到x=-2或者y=z，然后通过分类讨论就可以得到原方程的解。

加减法和消元法不仅可以用上述两个公式相减，还可以用这两个公式相加。解决问题的过程基本相同，这里就不赘述了。

代入消元法

代换消去法是用其他未知数表示一个未知数，代入其他方程的方法。例如，在本题目中，z=xy+x+y可以用公式表示，然后用公式代入可以得到x=-2或y=-1，分别讨论可以得到相应的解。将z=xy+x+y代入公式，可以得到y=-2或x=-1，通过同样的分类讨论可以得到相应的解。相加x=y=z=0。

代换消元法不仅可以先表示Z，还可以先表示X和Y，然后代入求值。但是从公式的形式可以看出，x和y都是分数形式，所以计算量比较大，要注意代入公式的顺序，否则计算起来会比较困难。

为了适当减少计算量，可以先将x表示出来，然后代入公式中，求出相应的解；然后将y表示的关系代入公式，即可得到相应的解。

从上面的过程可以看出，这个题目主要有三个难点:一是消元的过程没有三元线性方程组那么简单明了；第二，整个过程采用分类讨论的思路；第三，容易漏解，特别是在后面两个代入消元法的解题过程中。因为这三个困难，真正能做对的学生不到5%。你完全可以做到，对吗？