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大卫·希尔伯特
德国数学家大卫·希尔伯特是19世纪和20世纪初最有影响力的数学家之一。希尔伯特1862年出生于柯尼斯堡，1943年死于德国哥廷根。他被誉为伟大的数学家和科学家，因为他发明了很多思想。
戴维·希尔伯特
希尔伯特空
希尔伯特空指完全内积空，同义。而不完全内积空又称为拟希尔伯特空。
那么显然有以下关系:
即Hilbert 空是一个特殊的内积空，它的特殊性在于它的完备性，因为一个内积空不一定是完备的空。
那么就有两个概念，即“完备性空之间”和“内积空之间”。而两者的交集就是“完全内积空”。下文提供了单独的解释。
完成空
在数学分析中，完备性空也称为完备性测度空或柯西空。如果一个度量空中的所有柯西序列都收敛到这个空中的一个点，那么这个空就是完备的空。
这个定义涉及两个概念，即“在测度空之间”和“柯西序列”。
测量空
在数学中，measure 空是一个带有距离函数的集合，它定义了集合中所有元素之间的距离。这个距离函数被称为集合上的度量。度量空是最符合人们对现实直观认识的三维欧氏空。
这里的“距离”是一个抽象的概念，不仅指两点之间的直线距离，还包括向量距离、函数距离、曲面距离等。定义为:
让它成为非空集合。对于集合中的任意两点，在测量的作用下，有一个实数对应于这两点并令人满意:
正定性:当且仅当它为真；
对称性:；
三角不等式:+。
那么它被称为距离in，它被称为度量的度量空。
柯西序列
在数学中，柯西数列、柯西列、柯西数列或基列是指元素随着序数的增加而变近的数列。任何收敛序列都必须是柯西列，任何柯西列都必须是有界序列。
范畴性
如前所述，“如果一个度量空中的所有柯西序列都收敛到这个空中的一个点，那么这个空被称为一个完整的空”
实数和有理数可以作为具体的例子。
实数定义的序列在通常定义的距离意义上是完整的。
然而，有理数定义的序列在通常定义的距离意义上是不完整的。例如，由有理数组成的序列:
++，就是。用巴比伦方法可以证明结果收敛于。
图片来源:维基百科
说了这么多，可以用一句通俗但不精确的话来表达:在空当中，实数空是完整的空。
内积空
指向量空之间加一个“运算方法”的空间，称为“内积”，也叫“标量积”或“点积”。内积把一对向量和一个标量联系起来，让我们可以严格地谈论向量的“角”和“长”，进一步讨论向量的正交性。
这涉及到“矢量空”的概念。
进而内积空有一个基于空的内积自然定义的范数，它满足平行四边形定理，也就是说内积可以诱导出一个范数，所以内积空必须是“正规化的空”。这涉及到“规范空”的概念。
一步一步来说矢量空。
向量空之间
一般向量空的定义如下:分布在一个场中的向量空是由向量组成的集合，且该集合的向量之间的加法给出:+；以及标量和矢量之间的乘法。向量之和为+，向量与标量之积为。向量空之间的向量加法和标量乘法满足:
加法交换律:++；
加法联想定律:++；
向量单元:有唯一的+；
反元素:独一无二使+；
向量分布规律:for，++；
标量分布定律:for，++；
结社法:
标量单元:用于。
因此，向量空本质上是一个可加的交换群，加上一个运算，把每个标量和向量的乘积指定为向量。可见，向量空的定义不包括向量之间的乘法。
这就是内积被用作附加条件来区分内积空和一般向量空的原因。这就是内积空包含三个运算的原因:向量之间的加法，标量和向量之间的乘法，向量之间的乘法。
在理解向量空之间关系的基础上，我们将补充赋范空的概念以及这些空之间的关系。因为归一化空是在向量空的基础上定义的，所以也叫线性归一化空，或者简称归一化空。注意，如前所述，vector 空是线性空，它们是同义词。
Norm 空
范数常用于度量某个向量空中每个向量的长度或大小。它的定义是:
设它分布在域中的向量空之间，函数作用并满足以下条件:
正定性:是；以及当且仅当；
同质性:是的，有；
三角不等式:对，有++。
它被称为上的范数，定义范数的向量空被称为归一化的空。
通过将norm 空与上述度量空进行比较，我们可以看到“norm”和“distance”之间的区别:
距离定义在任何非空集合上，而范数定义在向量空之间。
在向量空中，范数可以诱导距离，否则不成立，这意味着赋范空必须属于度量空。
范数的同质性表明范数可以看作是距离的一个增强概念。
下图显示了几个空之间的包含关系:
图片来源:维基百科
摘要
说了这么多，我觉得有点困惑，所以我来总结一下每一个空之间的关系:
向量空之间+范数运算=范数空
Norm 空之间+内积运算=内积空
规范化空+完整性= Barnach 空
内积空之间+完备性+有限维= Euclid 空
内积空之间+完备性=希尔伯特空
最后补充一句:Hilbert 空是有限维Euclid 空的推广，使其不局限于实数和有限维，但又不失其完备性。
进而，由上述关系可知，通过内积运算的加入，希尔伯特空可视为巴拿赫空。
参考
