不难看出，在其他条件固定的情况下，弦振动的频率与长度成反比，弦越短声音越尖锐。
虽然弦的振动频率也与张力T有关，弦越紧越尖，但两者之间有平方根。这样，即使两根弦的张力之间存在简单的整数比，它们振动的频率也不是简单的整数比。
我们用两个重量分别为16和12单位的字符串来说明。当弦的粗细和长度相同时，张力较大的弦振动频率较高。这两根弦的张力比是一个简单的整数比。版画的作者大概期望这两个弦的频率也是这个比例，但实际上不是。这两根弦的振动频率之比是的平方根，即sqrt=1.1547，这不是简单的整数比，因此，这两个频率的组合并不协调。
如果张力维12的弦的振动频率是440赫兹，那么张力维16的弦的振动频率是440×1.1547 = 508赫兹。钢琴上根本没有这样的音符，它的频率在B键和C键的“间隙”里。如果把440 Hz唱成“哆”，508 Hz听起来有点像“来”，但其实比“来”高半度左右。我用手机产生了这两个频率，所以你可以在下面的视频中收听和比较。
锤的重量和振动频率
当一个固体金属物体被激发时，它会振动并发出声音。通常一个物体有很多振动模式，每个振动模式的频率都不一样。一般来说，这些振动模式的振动频率与传说中的锤子重量之间没有简单的直接或反向关系。因此，“12、9、8、6磅重的锤子成对发出和谐悦耳的敲击声”的传说几乎没有出现。
如果我们坚持人为地希望某一振动模式的频率与锤子的重量成正比或成反比，就需要专门设计锤子的形状，比如把锤子设计成圆柱体，看起来更像钢或金箍，这个金箍的一些纵向振动模式与其长度成反比。如果毕达哥拉斯去铁匠铺用这个金箍打铁，那么他可能会通过称重意识到和谐背后的数字原因，但铁匠们可能会筋疲力尽。此外，这种振动模式只能通过沿杆的轴线撞击来激发。如果水平敲击，会激发横向振动模式，其频率不再与长度成反比，而是与长度的平方成反比。
如果锤子的三维尺寸不受限制，甚至可能会发生某些情况下大锤的频率低于小锤，其他情况下大锤的频率高于小锤的情况。通过称量不同的锤子，更难理解声音和声背后的数量关系。
关于钟和水杯
印刷品的右上图显示了几个时钟，这是一个值得讨论的话题。
在中国，已知最早的编钟出土于3000多年前的西周早期湖北随州叶家山古墓。
随州叶家山古墓挖掘现场 | 图源：hubei.sinaimg.cn 随州叶家山古墓发掘现场|来源:hubei.sinaimg.cn
2500多年前的曾侯乙编钟更是宏伟辉煌。曾侯乙编钟每八度有完整的十二个音，可以迂回传递。
战国曾侯乙编钟 | 图源：wikipedia.org 战国曾侯乙编钟|来源:wikipedia.org
编钟是青铜制成的。铸造后，需要铲掉并归档进行调音，以获得所需的音高。根据曾侯乙编钟的铭文，考古学家确认调音是“弦的规律”。也就是说，古代工匠利用弦的长度来确定两个音符的频率比。
所以古人要通过人声、管乐器、弦乐器向大自然学习，逐渐了解旋律与音符的和谐关系，然后才有可能做成编钟，而不是反过来。
版画里还有一个水杯。水杯里的水质确实影响振动的频率，但这种影响不是简单的成正比或成反比。如果把杯子简化为简谐振子，振动的频率与质量的平方根成反比。如前所述，这样的平方根关系会破坏简单的整数比，从而无法产生和谐的频率比。
好的教学故事？
通过前面的分析，我们已经知道毕达哥拉斯的传说在科学上是站不住脚的。这个故事和版画出现在毕达哥拉斯死后至少几百年。虽然写这个故事的人试图让故事符合当时人们的常识，但如果常识不会出错，我们就不需要伽利略、牛顿、爱因斯坦和杨振宁了。
历史上有很多没有历史依据的传说。对于非历史传说，不一定要全盘否定，要具体问题具体分析。
有些传说虽然没有历史依据，但本身没有科学错误。这样的传说可以作为教学故事。比如伽利略把球从比萨斜塔上扔下来，牛顿被苹果砸中。
还有一些是以宗教神话的形式出现，而不是科学故事，不会误导观众。比如补天女神，亚当的肋骨塑造夏娃，芝麻开门等等。
但是有些传说有科学错误，却作为科学故事传播，这是最有问题的。这些传说包括爱迪生救了他的母亲，以及毕达哥拉斯在铁匠铺里召唤锤子的故事。希望大家以后介绍这个故事的时候，至少要说明这个故事在科学上是错误的，以免进一步传播误导信息。
除此之外，作者还看到了这个传说的一些修改版本，大概是审校们意识到声音的和谐是无法从锤子的重量中获得的，所以就把它改成了毕达哥拉斯从打铁的节奏中获得和谐的灵感，然后回家在音高等方面寻找和谐。这种观察打铁节奏的说法我在其他资料里没见过，这种说法应该是近几年的一些附记。
另一个版本说:毕达哥拉斯听到不同重量的铁块发出不同的音调，受到了启发。他回家继续在弦上实验，发现同样的弦在不同的负荷下会发出不同的音高；而且，他发现如果重量比是2: 1，音程差只是八度；当重量比为3:2时，节距差为5度；当重量比为4: 3时，间距差为4度。这个版本用另一个科学错误代替了原来的版本:正如我们前面指出的，弦张力和频率之间存在平方根关系，而不是简单的正负比关系。例如，当张力比为2:1时，频率比为1，即1.414: 1。在这种情况下，音高差不是八度。
故事的其他版本:黄金比例
铁匠铺里还有一个毕达哥拉斯传说的版本，说是他在称量和研究了打铁声的和声之后，发现了黄金比例。这种说法也没有可信的来源。至少许多被研究者复述的传说没有提到黄金比例。
音乐中不同音符的和谐源于其频率之间简单的整数比，与黄金分割无关。如果我们故意使用黄金分割比来产生两个频率的声音，它们在一起听起来并不愉快。比如第一个音的频率设为440 Hz，也就是A大调的“Duo”，那么第二个音的频率就是440×1.618 = 712Hz。这种声音在钢琴键盘上是不存在的，而是存在于两个键之间的缝隙中。听起来有点像“la”，但比“la”低。我们用手机产生这两种频率的正弦波。您可以在下面的视频中收听和比较它们。
科普内容如何避免科学错误？
科学内容的准确性是科学传播文章的生命。现在科普文章经常在网上来回转载，有时被其他作者改写，甚至直接复制粘贴。因此，如果一篇文章不慎出错，往往会导致“大范围下毒”的尴尬局面。这个传说的传播者毕达哥拉斯，很多都是热心的科普作者，但是当他们犯错的时候，就需要其他热心的作者来写文章指出错误，澄清相关的科学概念。
作者自己的文章也是错的，更多的是所谓的“险些”，意思是差一点就错了，不过好在在发表之前就改正了。每个人都会犯错，所以写文章难免出错。关键是如何把错误降到最低。对此，笔者愿意与大家分享自己的看法。
首先，我们必须理解和消化我们在互联网上发现的东西，并努力保持虚假和真实。我们经常有一种潜意识，认为我们在网上找到的东西是对的。这就需要我们用一种意识去克服这种潜意识，时刻保持对科学问题正确性的警惕，真正理解我们的文章所说的话。
另外，在写作心态上，要尽量减少不科学的成分。科普工作是一件好事，其中利他主义远大于利己主义，值得也应该做好。但是，不可能把科学传播的工作过度神圣化，把自己想象成一个火贼和启蒙者，把观众想象成无知的人。在这种虚假优越感的不科学心态的干扰下，作者很容易认为自己写对了，读者不明白是不是写错了，所以拒绝不厌其烦地保证内容的严谨性。
因此，保持对科学和读者的敬畏是减少科学传播内容错误的必要条件。我想和你分享我的想法。
